7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách vận dụng trong giải bài tập toán
Nội dung chính [Hiện]
Các hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức cơ bản, quan trọng trong môn toán lớp 8. Các hằng đẳng thức này sẽ được sử dụng nhiều trong quá trình chúng ta học môn toán sau này. Chính vì thế, để học môn toán không gặp nhiều khó khăn thì chúng ta nên nhớ và áp dụng các hằng đẳng thức một cách thích hợp sẽ giúp cho giải toán nhanh và chính xác. Vậy các hằng đẳng thức đó là gì? hãy cùng Điện Tử Số Sáng Tạo VN tìm hiểu chi tiết trong bài viết này và cách áp dụng chúng như thế nào nhé.
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. Bình phương của một tổng
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Phát biểu: Bình phương của 1 tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng với 2 lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai.
2. Bình phương của một hiệu
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Phát biểu: Bình phương của 1 hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi 2 lần tích của số thứ nhất và số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
3. Hiệu hai bình phương
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Phát biểu: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
4. Lập phương của một tổng
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Phát biểu: Lập phương của 1 tổng hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.
5. Lập phương của một hiệu
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Phát biểu: Lập phương của 1 hiệu hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi 3 lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai sau đó trừ đi lập phương số thứ hai.
6. Tổng hai lập phương
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Phát biểu: Tổng của hai lập phương hai số sẽ bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.
7. Hiệu hai lập phương
a3 – b3 = (a – b)(a2 – ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 + 3ab(a – b)
Phát biểu: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Hệ quả của các hằng đẳng thức đáng nhớ
Tổng hai bình phương: a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Bình phương của tổng 3 số hạng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Lập phương của tổng 3 số hạng: (a + b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2:
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
- (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2bc − 2ca
- (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3:
- a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab( a + b) a³ – b³ = ( a – b)³ + 3ab( a – b)
- ( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c )(b + c)
- a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c)( a² + b² + c² – ab – bc – ac)
- (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c( a – b )²
- (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc
Hằng đẳng thức dạng tổng quát:
an + bn = (a + b)(an-1 − an-2b + an-3b2 − an-4b3 + …. + a2bn-3 − a.bn-2 + bn-1) (1)
với n là số lẻ thuộc tập N
an − bn = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + …. + a2bn-3 + a.bn-2 + bn-1)
Áp dụng các hằng đẳng thức trong giải toán
Câu 1: Tính:
a, (x + 2y)2
b, (x – 3y)(x + 3y)
c, (5 – x)2
Lời giải:
a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2
Câu 2: Tính:
a, (x – 1)2
b, (3 – y)2
c, (x – 1/2)2
Lời giải:
a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1
b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2
c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4
Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6x + 9
b, x2 + x + 1/4
c,2xy2 + x2y4 + 1
Lời giải:
a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2
c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2
Câu 4: Rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
Lời giải:
a, (x + y)2 + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 = 2x2 + 2y2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2 = [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z) = (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2 = [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Lời giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)
Ta có: a2 = (5k + 4)2 = 25k2 + 40k + 16 = 25k2 + 40k + 15 + 1 = 5(5k2 + 8k +3) +1
Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5
Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97
Lời giải:
a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y) = (87 + 13)(87 – 13) = 100.74 = 7400
b, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 = (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000
Câu 7: Chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
Lời giải:
a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2) = (a2 + b2)(c2 + d2)
Câu 8: Tính nhanh
a, 222 = (20+2)2 = 202+2.20.2+ 22 = 400 + 80 +4= 484;
b, 992 = (100-1)2= 1002 -2.100 +12= 10000 -200 +12 = 9801;
c, 19.21 = (20-1)(20+1)= 202-12 =400-1= 399;
d, 292 = (30 – 1)2 = 841
e, 62.58= (60 + 2)(60 – 2) = 602 - 22 = 3596
g, 1022 = (100 + 2)2 = 10404
h, 1013 = (100 + 1)3 = 1030301
i, 913 + 3.912 .9 + 3.91.92 + 93 = (91 + 9)3 = 1003 = 1000000
k, 183 - 3.182 .8 + 3.18.82 - 29 = (18 – 8)3 = 103 = 1000
l, 183 + 23 = (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2) = 203 - 6.18.20 = 5840
m, 233 - 27 = 233 - 33 = (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3) = 203 + 9.23.20 = 12140
Lời kết
Trên đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số bài tập vận dụng. Mong rằng qua bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững các hằng đẳng thức, từ đó vận dụng hiệu quả vào quá trình học tập môn toán sao cho hiệu quả hơn.
