Logarit là gì? và các công thức Logarit cơ bản trong toán 12

Khi chơi một trò chơi nào, việc nắm rõ luật chơi là bước đầu tiên và quan trọng nhất để có thể tham gia một cách hiệu quả và thành công. Tương tự như vậy, trong thế giới của toán học, luật chơi được biểu diễn thông qua các công thức và tư duy logic. Trong kho báu của những công thức toán học, logarit là một phần không thể thiếu. Những công thức này không chỉ là nền tảng quan trọng trong chương trình học của lớp 12 mà còn là tâm điểm trong các kỳ thi quan trọng. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và tổng hợp một số công thức logarit cơ bản, một phần quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về sự phức tạp nhưng đầy tính logic của toán học.

Logarit là gì?

Logarit là một khái niệm trong toán học được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các số và phép luỹ thừa. Cụ thể, logarit của một số đối với một cơ số xác định là số mũ mà cơ số đó cần được gìn giữ để thu được số ban đầu.

Để giải thích đơn giản hơn, nếu ta có một số x, và muốn biết bao nhiêu lũy thừa của một số cố định nào đó (gọi là cơ số), ta cần bao nhiêu lũy thừa của cơ số đó để thu được số x, thì logarit của x với cơ số đó sẽ cung cấp câu trả lời.

Logarit thường được biểu diễn bằng ký hiệu "log", và có thể được viết dưới dạng log_x(y), trong đó x là cơ số, và y là số cần tính logarit.

Ví dụ, logarit cơ số 10 của 100 là 2, bởi vì 10^2 = 100. Do đó, log_10(100) = 2.

Logarit có ứng dụng rất rộng rãi trong các lĩnh vực như toán học, khoa học tự nhiên, kỹ thuật, và các lĩnh vực khác.

Để nhớ công thức này rất đơn giản các bạn chỉ cần nhớ cơ số thì vẫn là cơ số. a mũ t bằng b, t bằng log cơ số a của b. Cơ số a đóng vai trò không đổi trong phép tính.

Ví dụ, nếu chúng ta có phép tính $2^3=8$, thì ta có thể viết dưới dạng logarit như sau: ${\log }_2(8)=3$. Ở đây, cơ số 2 là cơ số của logarit, 8 là số mà chúng ta đang tìm lũy thừa, và kết quả 3 là mũ t mà 2 cần được lũy thừa để thu được 8.

Xem thêm: Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm của tam giác

Tổng hợp các công thức logarit cơ bản

Công thức Logarit

Công thức lũy thừa Logarit

Công thức Logarit và các phép toán

Công thức phép đổi cơ số

Công thức tính đạo hàm Logarit

3 Quy tắc công thức đạo hàm Logarit 12

Quy tắc Logarit lũy thừa

Quy tắc công thức Logarit lũy thừa: log_ab^α = αlog_ab

Trong đó: a, b, c là số dương, a # 1

Quy tắc Logarit của 1 tích

Quy tắc công thức Logarit của 1 tích: log_α (ab) = log_αb + log_αc

Trong đó: a, b, c là số dương, a # 1

• Để sử dụng bảng Logarit cần đưa cơ số về Logarit thập phân cơ số a = 10, sau đó tra bảng và thực hiện tính toán.
• Logarit tự nhiên với cơ số là hằng số e (~2,781)
• Logarit nhị phân cơ số 2 sử dụng trong khoa học máy tính
• Dùng thang Logarit nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng

Quy tắc sử dụng bảng Logarit

Chúng ta nên sử dụng bảng Logarit để việc tính toán nhanh chóng. Bảng Logarit sử dụng thuận lợi khi muốn tính nhanh hay nhân số lớn (thậm chí nhanh hơn so với dùng máy tính). 

Cách tìm Logarit

1. Cách tìm Logarit nhanh

Chúng ta cần chú ý một số bước sau để tìm nhanh Logarit: 

• Tìm đúng giá trị ô: Giá trị ô đúng tại các giao điểm của hàng ngang và hàng dọc.
• Chọn đúng bảng: Tìm bảng Logarit thập phân là bảng cho Logarit cơ số 10.
• Tìm tiền tố trước 1 số thập phân: Trong bảng Logarit cho thấy rõ tiền tố trước số thập phân và matissa thuộc phần sau dấu phảy, 
• Tìm phần nguyên: Trong bảng Logarit cơ số 10 phần nguyên dễ tìm nhất. Hãy đếm các chữ số còn lại của số thập phân và trừ đi 1 chữ số để tìm ra phần nguyên. 
• Tìm số chính xác: Sử dụng cột nhỏ hơn ở phía bên ngoài bảng là cách tìm số chính xác nhất. Chúng ta có thể áp dụng cách này trong trường hợp số có 4 hoặc nhiều hơn. 

2. Cách tìm Logarit nâng cao

Để giải phương trình đạo hàm Logarit nâng cao, các em học sinh không nên bỏ qua các bước sau: 

• Hiểu rõ Logarit là gì? Ví dụ 8³ là 512 => Logarit cơ số 8 của 512 là 3
• Xác định rõ đặc tính cảu số mà chúng ta muốn tính Logarit
• Bảng Logarit chỉ sử với cơ số nhất định, do đó khi muốn tìm Logarit của cơ số nào cần sử dụng đúng bảng đó. Bảng Logarit phổ biến nhất (bảng Logarit phổ thông) là Logarit cơ số 10. 
• Chúng ta cần cẩn thận trong việc sử dụng bảng Logarit, để tính Logarit trong bảng nên tra hàng dọc ngoài cùng bên trái, sau đó chiếu sang ngang để tìm điểm giao giữa hàng dọc và hàng ngang. 
• Tra bảng Logarit cần chú ý khi muốn tìm giá trị trính xác hơn hay tính toán phép tính lớn nên sử sụng bảng phụ nhỏ của bảng Logarit. Hãy tìm đến cột trong bảng được đánh dấu bằng chữ số tiếp theo của số chúng ta đang tìm kiếm. 
• Khi tra được giao điểm của hàng dọc và hàng ngang để tìm ra số cần tìm, chúng ta nên thêm đặc tính với mantissa để có kết quả tính Logarit. 
• Học sinh có thể thêm các số được tìm thấy trong 2 bước trên với nhau.

Một số lưu ý khi học bảng công thức Log

Khi học bảng công thức Log học sinh cần lưu ý: 

• Phân biệt hàm mũ và Logarit: Phương trình Logarit có chữ log, phương trình hàm mũ thì biến số nâng lên thành lũy thừa và số mũ đặt sau 1 số. 
• Ghi nhớ thành phần của công thức Logarit đầy đủ: Các thành phần của công thức Logarit gồm viết tắt log, cơ số, đối số.
• Phân biệt sự khác nhau giữa các Logarit thập phân, Logarit tự nhiên, Logarit đơn vị, Logarit cơ số… và các phép mũ hóa Logarit hóa cùng một cơ số. 

Logarit thập phân (Logarit cơ số 10 kí hiệu lgb hoặc logb: Logarit thập phân mang đầy đủ tính chất của Logarit với cơ số > 1.

Logarit tự nhiên (Logarit cơ số e) có e ≈ 2,718281828459045), viết tắt là lnb

Để việc học công thức đạo hàm Logarit 12 nhanh và dễ nhớ, chúng ta cần: 

• Nắm vững kiến thức cơ bản về Logarit, các công thức Logarit
• Luyện tập các bài tập về Logarit trong sách giáo khoa và sách nâng cao để hiểu rõ và nắm chắc kiến thức liên quan. 
• Thường xuyên trao đổi với bạn bè và tham khảo ý kiến từ thầy cô giáo để hiểu sâu và nâng cao kiến thứ về đạo hàm Logarit. 
• Tham khảo thêm thông tin trên các hội nhóm, diễn đàn, webite… uy tín để mở rộng kiến thức đã học. 

Các bước giải một số dạng bài tập Logarit

Dạng 1: Bài tập so sánh các biểu thức chứa Logarit tự nhiên: 

Để giải bài tập so sánh các biểu thức chứa Logarit thực hiện theo các bước: 

• Bước 1: Sử dụng tính chất Logarit và Logarit tự nhiên đơn giản các biểu thức
• Bước 2: So sánh các biểu thức đã đơn giản, sử dụng một số tính chất so sánh Logarit để giải bài tập

Dạng 2: Qua các Logarit đã cho biểu diễn 1 Logarit hoặc rút gọn biểu thức chứa Logarit

Giải bài tập dạng 2 theo các bước như sau: 

• Bước 1: Sử dụng các tính chất Logarit để tác các biểu thức cần biểu diễn làm xuất hiện các Logarit theo yêu cầu đề bài
• Bước 2: Thay các dữ liệu đề bài cho vào biểu thức và rút gọn theo thứ tự thực hiện phép tính như sau

Nếu biểu thức có ngoặc: thực hiện trong ngoặc trước => lũy thừa (căn bậc n) => nhân chia, cộng trừ

Nếu biểu thức không có ngược: lũy thừa (căn bậc n) => nhân chia, cộng trừ

Dạng 3: Rút gọn biểu thức Logarit

Giải bài tập rút gọn biểu thức Logarit theo 2 bước sau: 

• Bước 1: Chuyển đổi công thức log về cùng 1 cơ số
• Bước 2: Rút gọn Logarit cùng cơ số theo nguyên tắc

Nếu biểu thức có ngoặc: thực hiện trong ngoặc trước => lũy thừa (căn bậc n) => nhân chia, cộng trừ

Nếu biểu thức không có ngược: lũy thừa (căn bậc n) => nhân chia, cộng trừ

Lời kết

Tóm lại, logarit là một khái niệm toán học quan trọng, mô tả mối quan hệ giữa các số và phép lũy thừa. Các công thức logarit cơ bản trong toán học lớp 12 cung cấp nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp, từ các bài toán đơn giản đến các vấn đề ứng dụng trong thực tế. Việc hiểu và thuần thục các công thức này không chỉ giúp bạn nắm vững kiến thức mà còn giúp mở ra cánh cửa của sự hiểu biết và sáng tạo trong toán học và các lĩnh vực khác. Hãy tiếp tục thực hành và ứng dụng kiến thức này để phát triển sự tự tin và kỹ năng trong học tập và cuộc sống hàng ngày. 

Chúc các bạn thành công.